Question

【題目】Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過(guò)點(diǎn)A作AN∥EC，交直線(xiàn)CM、CB于點(diǎn)F、N．

（1）如圖1，若點(diǎn)M在線(xiàn)段AB邊上時(shí)，求∠AFM的度數(shù)；

（2）如圖2，若點(diǎn)M在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，且∠CMB=15°，求∠AFM的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2) 120°．

【解析】

（1）如圖1，連接EM．根據(jù)AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知△EMC是等腰直角三角形；再結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)可知∠AFM=45°．

（2）如圖2，連接EM．同（1）△AEM≌△BMC，則EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．易證△EMC是等邊三角形，故∠ECM=60°，又由AN∥CE得到：∠AFM=∠ECM=60°．

（1）連接EM．

∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．

在△AEM與△BMC中，

，

∴△AEM≌△BMC（SAS）．

∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．

∵∠AEM+∠AME=90°，

∴∠BMC+∠AME=90．

∴∠EMC=90°．

∴△EMC是等腰直角三角形．

∴∠MCE=45°

∵AN∥CE，

∴∠AFM=∠MCE=45°；

（2）如圖2，連接ME．

同（1）△AEM≌△BMC（SAS），則EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．

又∵∠MEA+∠EMA=90°，

∴∠EMC=60°，

∴△EMC是等邊三角形，

∴∠ECM=60°，

∵AN∥CE

∴∠AFM+∠ECM=180°，

∴∠AFM=120°．