Question

【題目】探究與發現：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=__________°；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①40°；②∠DCE=90°；③∠A =70°．

【解析】試題分析：(1)、連接AD并延長至點F，根據外角的性質得出∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，從而得出我們所需要的結論；(2)、①、根據第一題的結論得出答案；②、根據第一題的結論得出∠ADB+∠AEB=80°，然后根據∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A得出答案；③、根據題意得出∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，然后設∠A為x°，根據∠ABD+∠ACD=140°-x°得出答案.

試題解析：(1)、連接AD并延長至點F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；

且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

(2)、①、由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC， 又因為∠A=50°，∠BXC=90°，

所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②、由（1）的結論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；

而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A， 代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③、∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A， ∵∠BG1C=77°， ∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD=140°-x° ∴（140-x）+x=77，x=70 ∴∠A為70°．