Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．
（1）求證：BE=CD；
（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD

（2）

解：∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF= = =2 ，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面積=△ECF的面積，

∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積= AEBF= ×4×2 =4 ．

【解析】（1）由平行四邊形的性質和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
　　　　（2）先證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積= AEBF，即可得出結果．此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．