Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，如圖所示：

∵BD是⊙O的切線，

∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，

∵E是BD中點，

∴CE= BD=BE，

∴∠BCE=∠CBE=∠A，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A，

∴∠ACO=∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

即∠OCE=90°，CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切線；

（2）

解：∵∠ACB=90°，

∴AB= = =2 ，

∵tanA= = = ，

∴BD= AB= ，

∴CE= BD=

【解析】（1）連接OC，由弦切角定理和切線的性質得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE= BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，證出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出結論；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函數得出tanA= = = ，求出BD= AB= ，即可得出CE的長．本題考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理、三角函數等知識；熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解決問題的關鍵．