Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．

（1）求證：四邊形PBQD是平行四邊形；

（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P從點A出發，以1cm/秒的速度向D運動（不與D重合），設點P運動時間為t秒．

①請用t表示PD的長；②求t為何值時，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②當 時，四邊形PBQD是菱形.

【解析】

(1)先證明△POD≌△QOB，從而得OP=OQ，再由OB=OD，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證得結論；

(2)①根據PD=AD-AP即可得；

②由菱形的性質可得BP=PD=8-t，再由∠A=90°，根據勾股定理可得t2+62=(8-t)2，求出t值即可.

(1)在矩形ABCD中，，

，

∵點O是BD的中點，

，

在△POD和△QOB中，

，

∴△POD≌△QOB，

∴OP=OQ，

又∵OB=OD，

四邊形PBQD是平行四邊形；

(2)①，

∴PD=8-AP=(8-t)cm；

②∵四邊形PBQD是菱形，

∴BP=PD=8-t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴AP2+AB2=BP2，

即t2+62=(8-t)2，

解得：t=，

即當s時，四邊形PBQD是菱形.