Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上的點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）如圖①，當點E是BC邊上任一點（不與點B、C重合）時，求證：AE=EF．

（2）如圖②當點E是BC邊的延長線上一點時，（1）中的結論還成立嗎？ （填成立或者不成立）．

（3）當點E是BC邊上任一點（不與點B、C重合）時，若已知AE=EF，那么∠AEF的度數是否發生變化？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）∠AEF=90°不發生變化．理由見解析.

【解析】

（1）在AB上取點G，使得BG=BE，連接EG，根據已知條件利用ASA判定△AGE≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF；

（2）在BA的延長線上取一點G，使AG=CE，連接EG，根據已知利用ASA判定△AGE≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF；

（3）在BA邊取一點G，使BG=BE，連接EG．作AP⊥EG，EQ⊥FC，先證AGP≌△ECQ得AP=EQ，再證Rt△AEP≌Rt△EFQ得∠AEP=∠EFQ，∠BAE=∠CEF，結合∠AEB+∠BAE=90°知∠AEB+∠CEF=90°，從而得出答案．

（1）證明：在BA邊取一點G，使BG=BE，連接EG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，BA=BC，∠DCM═90°，

∴BA-BG=BC-BE，

即AG=CE．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠CEF=∠BAE．

∵BG=BE，CF平分∠DCM，

∴∠BGE=∠FCM=45°，

∴∠AGE=∠ECF=135°，

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

（2）成立，

理由：在BA的延長線上取點G，使得AG=CE，連接EG．

∵四邊形ABCD為正方形，AG=CE，

∴∠B=90°，BG=BE，

∴△BEG為等腰直角三角形，

∴∠G=45°，

又∵CF為正方形的外角平分線，

∴∠ECF=45°，

∴∠G=∠ECF=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEM=90°-∠AEB，

又∵∠BAE=90°-∠AEB，

∴∠FEM=∠BAE，

∴∠GAE=∠CEF，

在△AGE和△ECF中，

∵，

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

故答案為：成立．

（3）∠AEF=90°不發生變化．

理由如下：在BA邊取一點G，使BG=BE，連接EG．分別過點A、E作AP⊥EG，EQ⊥FC，垂足分別為點P、Q，

∴∠APG=∠EQC=90°，

由（1）中知，AG=CE，∠AGE=∠ECF=135°，

∴∠AGP=∠ECQ=45°，

∴△AGP≌△ECQ（AAS），

∴AP=EQ，

∴Rt△AEP≌Rt△EFQ（HL），

∴∠AEP=∠EFQ，

∴∠BAE=∠CEF，

又∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠AEF=90°．