Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為E（1,0），與軸的交點坐標為（0,1）.

（1）求該拋物線的函數關系式.

（2）A、B是軸上兩個動點，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過A作AD⊥軸交拋物線于D，

過B作BC⊥軸交拋物線于C. 設A點的坐標為（,0），四邊形ABCD的面積為S.

① 求S與之間的函數關系式.

② 求四邊形ABCD的最小面積，此時四邊形ABCD是什么四邊形？

③ 當四邊形ABCD面積最小時，在對角線BD上是否存在這樣的點P，使得△PAE的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及這時△PAE的周長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②四邊形ABCD是正方形③2+

【解析】試題分析：（1）先設拋物線的頂點式，然后把點（0，1）代入拋物線，可以求出拋物線的解析式．（2）①因為點A的坐標為（t，0），AB=4，所以點B的坐標為（t+4，0），分別把A，B兩點的坐標代入拋物線得到C，D兩點的坐標，得到線段AD和BC的長，可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面積．②根據①得到S關于t的二次函數，利用二次函數的性質，可以求出面積最小時t的值，并確定此時四邊形的形狀．③當四邊形ABCD的面積最小時，ABCD是正方形，點A點C關于BD對稱，根據兩點之間線段最短，得到CE與BD的交點就是點P，然后求出△PAE的周長．

試題解析： （1）∵ 拋物線頂點為F（1,0）

∴

∵ 該拋線經過點E（0,1）

∴

∴

∴ ，

即所求拋物線的函數關系式為.

（2）① ∵ A點的坐標為（,0）, AB=4，且點C、D在拋物線上，

∴ B、C、D點的坐標分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2).

∴

② .

∴ 當=-1時，四邊形ABCD的最小面積為16，

此時AD=BC=AB=DC=4，四邊形ABCD是正方形.

③ 當四邊形ABCD的面積最小時，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD上存在點P, 使得ΔPAE的周長最小.

∵AE=4（定值），

∴要使ΔPAE的周長最小，只需PA+PE最小.

∵此時四邊形BCD是正方形，點A與點C關于BD所在直線對稱,

∴由幾何知識可知，P是直線CE與正方形ABCD對角線BD的交點.

∵點E、B、C、D的坐標分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）

∴直線BD，EC的函數關系式分別為：y=-x+3, y=2x-2.

∴ P(,)

在Rt△CEB中，CE=,

∴△PAE的最小周長=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+