Question

【題目】閱讀下面材料，并解決有關問題

我們知道：

|a|＝

現在我們可以用這一結論來化解含有絕對值的代數式

如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|和|x﹣2|的零點值）

在實數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下三種情況：

（1）x＜﹣1（2）﹣1≤x＜2（3）x≥2

從而化簡代數式|x+1|+|x﹣2|，可分以下三種情況

（1）x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1

（2）﹣1≤x＜2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3

（3）x≥2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1

通過以上閱讀，請你解決以下問題

（1）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；當﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|＝6；當x≥4時，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（2）2．

【解析】

（1）分為x＜﹣2、﹣2≤x＜4、x≥4三種情況化簡即可；

（2）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而求出代數式的最大值．

解：（1）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；

當﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；

當x≥4時，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；

（2）當x＜﹣1時，原式＝3x+5＜2，

當﹣1≤x≤1時，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，

當x＞1時，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，

則|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值為2．