Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，連接AD，BE交于點F；

（1）求∠AFE的度數；

（2）連接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的長.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）2.

【解析】

（1）因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根據全等三角形的性質得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性質解答即可；

（2）延長BE至H，使FH=AF，連接AH,CH,得到：△ACH，利用等邊三角形的性質進而解答即可．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，

∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；

（2）

延長BE至H，使FH=AF，連接AH,CH

由（1）知∠AFE=60°，∠BAD=∠CBE，

∴△AFH是等邊三角形，

∴∠FAH=60°，AF=AH，

∴∠BAC=∠FAH=60°，

∴∠BAC-∠CAD=∠FAH-∠CAD，

即∠BAF=∠CAH，

在△BAF和△CAH中，

∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，

∴△BAF≌△CAH（SAS），

∴∠ABF=∠ACH，CH=BF=1；

又∵∠ABC=∠BAC，∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD，

即∠ABF=∠CAF，

∴∠ACH=∠CAF，

∴AF∥CH，

∵∠AFC=90°，∠AFE=60°，

∴CF⊥CH，∠CFH=30°，

∴FH=2CH，

∴AF=2BF=2×1=2，

即AF的長為2．