Question

【題目】請完成下列的相似測試．

如圖，在△ABC中，AB=AC=4，D是AB上一點，且BD=1，連接CD，然后作∠CDE=∠B，交平行于BC且過點A的直線于點E，DE交AC于點F，連接CE．

（1）求證：△AFD∽△EFC；

（2）試求AEBC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AEBC=4．

【解析】試題分析：（1）證明△AEF∽△DCF，從而可得，再根據∠AFD=∠EFC，即可證明△AFD∽△EFC；

（2）證明△ACE∽△BCD，從而可推得AEBC=BDAC，再根據AC=4，BD=1，即可得AEBC=4．

試題解析：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

又∵∠CDE=∠B，

∴∠CDE=∠ACB，

∵AE∥BC，

∴∠ACB=∠CAE，

∴∠CDE=∠CAE，

又∵∠AFE=∠DFC，

∴△AEF∽△DCF，

∴，即，

又∵∠AFD=∠EFC，

∴△AFD∽△EFC；

（2）∵△AFD∽△EFC，

∴∠ACE=∠ADF，

又∵∠ADF+∠BDC=180°﹣∠FDC，∠BCD+∠BDC=180°﹣∠B，

而∠CDE=∠B，

∴∠ADF=∠BCD，

∴∠ACE=∠BCD，

又∵∠B=∠ACB=∠CAE，

∴△ACE∽△BCD，

∴，即AEBC=BDAC，

∵AC=4，BD=1，

∴AEBC=1×4=4．