Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為，且與y軸交于點C(0，2)，與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左邊)．

(1)求拋物線的表達式及A，B兩點的坐標．

(2)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值；若不存在，請說明理由；

(3)在以AB為直徑的⊙M中，CE與⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的表達式．

Answer 1

【答案】 (1) y＝x2－x＋2,A(2，0)，B(6，0)．(2)存在，AP＋CP的最小值為2;(3)直線CE的表達式為y＝－x＋2.

【解析】試題分析：（1）根據知拋物線的頂點坐標,設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣，再根據拋物線經過（0，2）求出拋物線解析式，進而求出A、B兩點的坐標；（2）存在，線段BC的長即為AP+CP的最小值，求得BC的長即可；（3）連接ME，根據已知條件易證△COD≌△MED.根據全等三角形的性質可得OD＝DE，DC＝DM.設OD＝x，則CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，根據勾股定理列出方程x2＋22＝(4－x)2.解方程求得x的值，即可得點D的坐標，利用待定系數法求得直線EC的解析式即可

試題解析：

(1)由題意可設拋物線的表達式為y＝a(x－4)2－ (a≠0)．

∵拋物線經過點C(0，2)，

∴a(0－4)2－＝2，

解得a＝.

∴y＝ (x－4)2－，

即y＝x2－x＋2.

當y＝0時， x2－x＋2＝0，

解得x1＝2，x2＝6，

∴A(2，0)，B(6，0)．

(2)存在，由(1)知，拋物線的對稱軸l為直線x ＝4.

∵A，B兩點關于l對稱，

連接CB交l于點P，連接AP，則AP＝BP，

∴AP＋CP＝BC的值最小．

∵B(6，0)，C(0，2)，

∴OB＝6，OC＝2.

∴BC＝＝2.

∴AP＋CP＝BC＝2.

∴AP＋CP的最小值為2.

(3)連接ME，∵CE是⊙M的切線，

∴CE⊥ME.

∴∠CEM＝90°.

∴∠COD＝∠DEM＝90°.

由題意，得OC＝ME＝2，

∠ODC＝∠MDE，

∴△COD≌△MED.

∴OD＝DE，DC＝DM.

設OD＝x，

則CD＝DM＝OM－OD＝4－x.

在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2，

∴x2＋22＝(4－x)2.

∴x＝.

∴D.

設直線CE的表達式為y＝kx＋d(k≠0)，

∵直線CE過C(0，2)，

D兩點，

則

解得

∴直線CE的表達式為y＝－x＋2.