Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．點A、C的坐標分別是（-1，0）、（0，2）．
（1）求此拋物線對應的函數解析式；
（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值．
（3）試探究：若點Q是拋物線的對稱軸x=1上一動點，當點Q在什么位置時△BCQ是等腰三角形．在圖中作出符合條件的點Q的位置（保留作圖痕跡），并至少求出其中一個點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱性，可根據對稱軸解析式和A點坐標求出B點坐標，然后根據A、B、C三點坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）P點在拋物線上方，且三角形ABP面積最大，那么P點縱坐標最大，因此P點即為拋物線的頂點，據此可求出P點坐標，進而可根據三角形的面積公式求出此時三角形ABP的面積．
（3）本題有三種情況：
①QC=QB，此時Q點為線段BC垂直平分線與拋物線對稱軸的交點．
②QC=BC，以C為圓心，以BC長為半徑作弧，交拋物線對稱軸于兩點，這兩點均符合Q點的條件．
③QB=BC，以B為圓心，BC長為半徑作弧，交拋物線對稱軸于兩點，這兩點也都符合Q點的條件．因此綜合三種情況共有五個符合條件的Q點，可先設出Q點坐標，然后用坐標系兩點間的距離公式表示出BC、BQ、CQ的長，然后根據三種情況中不同的等量關系來求出不同的Q點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且A（-1，0）；
∴B（3，0）；
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）；
已知拋物線過C（0，2），則有：
2=a（0+1）（0-3），
即a=-

2

3

∴函數解析式y=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

（x-1）²+

8

3

；

（2）當△ABP面積最大，且P在x軸上方時，此時P點為拋物線頂點．
由（1）知：P（1，

8

3

）．
∴Smax=

1

2

AB•y_P=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

．

（3）點Q共有五個，其中一個點Q的坐標如：Q（1，2+2

3

）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識．要注意（3）題中要將所有的情況都考慮到．