Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，

3

2

）
（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是此拋物線上位于x軸上方的一個動點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)函數(shù)的解析式為，y=a（x-1）²+b，然后把A，C的坐標(biāo)值分別帶代入，可求出ab的值，即得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)題意可知，當(dāng)P是函數(shù)的頂點(diǎn)時，△ABP的面積最大，因?yàn)榇藭rP點(diǎn)的縱坐標(biāo)值最大，面積就最大．

解答：解：設(shè)函數(shù)的解析式是y=a（x-1）²+b，
把（-1，0）；（0，

3

2

）代入解析式可得；

4a+b=0 a+b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
則解析式為y=-

1

2

（x-1）²+2，
化簡得：y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x₁，y₁），
∵S_△ABP=

1

2

AB×y₁，AB的值固定，只有當(dāng)y₁最大時，則S有最大值．也就是當(dāng)y₁=2時，有最大值．
令y=-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
則AB=4，
那么S_△ABP=

1

2

×4×2=4．

點(diǎn)評：本題利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在設(shè)函數(shù)解析式時，要根據(jù)需要來設(shè)，由于給出了對稱軸，
故應(yīng)設(shè)為y=a（x-1）²+b的形式才好求，還用到了三角形的面積公式等知識．