Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點A、C的坐標分別是（-1，0）、（0，3）
（1）求此拋物線對應的函數解析式；
（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值；
（3）若過點A（-1，0）的直線AD與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形的面積為6，求此直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸設出拋物線的解析式，由A、C的坐標根據待定系數法就可以求出解析式．
（2）設出P點的坐標，由（1）求出點A、B的坐標，求出AB的長度，由三角形的面積公式表示出△ABP的面積．
（3）由對稱軸設出點D（1，b）坐標，根據三角形的面積建立等量關系就可以求出D的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=1，設拋物線的解析式是y=a（x-1）²+k，
∴

0=4a+k 3=a+k

解得：

a=-1 k=4

，
∴y=-（x-1）²+4即y=-x²+2x+3

（2）∵y=-x²+2x+3，當y=0時，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴AB=4．
設P（a，-a²+2a+3）
∴S_△ABP=

4(-a2+2a+3)

2

=-2（a-1）²+8，
∴△ABP面積的最大值為8

（3）設D的坐標為（1，b），
∴

2×|b|

2

=6，
∴b=±6，
∴D（1，6）或（1，-6），設AD的解析式為y=kx+b，得

0=-k+b 6=k+b

或

0=-k+b -6=k+b

解得：

k=3 b=3

或

k=-3 b=-3

∴直線AD的解析式為：y=3x+3或y=-3x-3．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的解析式，三角形的面積公式的運用．