Question

【題目】對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；

第二步：再一次折疊，使點A落在MN的點A′處，并使折痕經過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA′，EA′，展開，如圖1；

第三步：再沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD的點B′處，得到折痕EF，同時得到線段B′F，展開，如圖2．

（1）證明：∠ABE=30°；

（2）證明：四邊形BFB′E為菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據點M是AB的中點判斷出A′是EF的中點，然后判斷出BA′垂直平分EF，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠A′BE=∠A′BF，根據翻折的性質可得∠ABE=∠A′BE，然后根據矩形的四個角都是直角計算即可得證；

（2）根據翻折變換的性質可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

(1)∵對折AD與BC重合，折痕是MN，

∴點M是AB的中點，

∴A′是EF的中點，

∵∠BA′E=∠A=90°，

∴BA′垂直平分EF，

∴BE=BF，

∴∠A′BE=∠A′BF，

由翻折的性質,∠ABE=∠A′BE，

∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，

∴∠ABE= ×90°=30°；

(2)∵沿EA′所在的直線折疊,點B落在AD上的點B′處，

∴BE=B′E,BF=B′F，

∵BE=BF，

∴BE=B′E=B′F=BF，

∴四邊形BFB′E為菱形。