Question

【題目】已知，△ABC中，AB=AC，點E是邊AC上一點，過點E作EF∥BC交AB于點F

（1）如圖①，求證：AE=AF；

（2）如圖②，將△AEF繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．連接CE′BF′．

①若BF′=6，求CE′的長；

②若∠EBC=∠BAC=36°，在圖②的旋轉過程中，當CE′∥AB時，直接寫出旋轉角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①6；②36°或72°．

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形兩底角相等∠B=∠C，再根據平行線的性質得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，進一步得出結論；

（2）求出AE=AF，再根據旋轉的性質可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“邊角邊”證明△CAE′和△BAF′全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（3）把△AEF繞點A逆時針旋轉AE′與過點C與AB平行的直線相交于M、N，然后分兩種情況，根據等腰梯形的性質和等腰三角形的性質分別求解即可．

試題解析：(1)證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AE=AF.

(2)①由旋轉的性質得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′，

在△CAE′和△BAF′中，

，

∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，

∴CE′=BF′=6；

②由(1)可知AE=BC，

所以,在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中,點E經過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l相交于點M、N，如圖，

①當點E的像E′與點M重合時，四邊形ABCM是等腰梯形，

所以,∠BAM=∠ABC=72°，

又∵∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°；

②當點E的像E′與點N重合時，

∵CE′∥AB，

∴∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°72°×2=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，

綜上所述,當旋轉角α為36°或72°.