Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線經過點、，點是第一象限的點且，過點作軸，垂足為，．

（1）求直線的解析式和點的坐標；

（2）試說明：；

（3）若點是直線上的一個動點，在軸上存在另一個點，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3），，

【解析】

（1）將A、B坐標代入可得直線解析式，設B（1，m），由得1+m2=5，解之可得答案；
（2）利用邊角邊證明△AOD與△OCB全等，從而得到∠OAD=∠COB，根據∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，從而得到∠AEO=90°，得證；
（3）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出點M的坐標，從而得到BM的長度，再分點N在點O的左邊與右邊、點N關于A的對稱點三種情況討論求出點N的坐標．

解：（1）把，代入

得解得

∴解析式為

∵，軸

設

∵，

∴，（負值舍去）

∴；

（2）∵，，，

∴，

∵

∴

∴

∵

∴

∴∠AEO=90°，

∴；

（3）∵點N在x軸上，O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴BM∥x軸，且BM=ON，
根據（1），點B的坐標為（1，2），
∴-x+1=2，
解得x=-2，
∴點M的坐標為（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①點N在點O的左邊時，ON=BM=3，
∴點N的坐標為（-3，0），
②點N在點O的右邊時，ON=BM=3，
∴點N的坐標為（3，0），
③作N（-3，0）關于A對稱的點N′，則N′也符合，
點N′的坐標是（7，0），
綜上所述，點N的坐標為（-3，0）或（3，0）或（7，0）．