Question

如圖（1），我們將相同的兩塊含30°角的直角三角尺Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DF過點C，已知AC=DE=6。將圖（1）中的△DEF繞點D逆時針旋轉（DF與AB不重合），使邊DF、DE分別交AC、BC于點P、Q，如圖（2）。
(1)求證：△CQD∽△APD
(2)連結PQ，設AP=x，求面積S_△PCQ關于x的函數關系式；
(3)將圖（1）中的△DEF 向左平移（A、D不重合），使邊FD、FE分別交AC、BC于點M、N，如圖（3）,連結MN，試問△MCN面積是否存在最大值、如不存在，請說明理由；如存在請求出S_△MCN 的最大值，

Answer 1

（1）∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°
∴∠BCD=∠A=60°，
∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°
∴△CQD∽△APD
（2）∵在Rt△ADC中，AD=3，DC=3
又∵△CQD∽△APD，CQ=x．
∴S_△PCQ=
（3）△BEN是等腰三角形．BE=6-t，BN=．
S_△MCN= 
S_△MCN 的最大值為

（1）易得∠BCD=∠A=60°，∠ADP=∠CDE，那么可得△CQD∽△APD；
（2）利用相似可得CQ=x，那么PC=6-x．可表示出S_△PCQ；
（3）由外角∠FEN=60°，∠B=30°，可得∠BNE=30°，∴NE=BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD=t，AB=12，那么BE=12-AD-DE=6-t．過E作EG⊥BN于點G．利用30°的三角函數可求得BG，進而求得BN，然后利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面積，再求出S_△MCN 的最大值。