Question

如圖,已知:在四邊形ABFC中，=90的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE

（1）試探究,四邊形BECF是什么特殊的四邊形;
（2）當的大小滿足什么條件時,四邊形BECF是正方形?請回答并證明你的結論.
(特別提醒:表示角最好用數字)

Answer 1

（1）四邊形BECF是菱形，證明見解析（2）當∠A=45。時，菱形BESF是正方形，證明見解析

（1）四邊形BECF是菱形。·························1分

證明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2······2分
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE·····················3分
∴BE=AE··················4分
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF··········5分
∴四邊形BECF是菱形·······6分
（2）當∠A=45。時，菱形BESF是正方形··7分
證明：
∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�8分
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形·················9分
（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因為CF=BE，BE=EC=BF=FC，根據四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度；