Question

如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊折疊，使點落在邊的點處．已知折疊，且．
（1）判斷與是否相似？請說明理由；
（2）求直線與軸交點的坐標；
（3）是否存在過點的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）與相似．
理由如下：

由折疊知，，
，
又，
．
（2），設，
則．
由勾股定理得．
．
由（1），得，
，
．
在中，，
，解得．
，點的坐標為，
點的坐標為，
設直線的解析式為，
解得
，則點的坐標為．
（3）滿足條件的直線有2條：，
．
如圖2：準確畫出兩條直線．

（1）由折疊知，，根據同角的余角相等可得，再有
即可得到與相似；
（2）），設，則，由勾股定理得，
，由（1），根據對應邊成比例可得，，在中根據勾股定義即可求出，從而得到點、點的坐標，再根據待定系數法即可得到直線的解析式，從而得到點的坐標。
（3）存在，應該有兩條如圖：
①直線BF，根據折疊的性質可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出兩三角形相似，那么可根據B、D兩點的坐標求出此直線的解析式．
②直線DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根據∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的長求出ON的值，即可求出N點的坐標，然后根據N、D兩點的坐標求出直線DN的解析式．