Question

【題目】如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A=30°，

∴∠COD=60°

∴∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）可知：∠COD=60°，

∴S扇形BOC= =

在Rt△OCD中，

tan60°=

∴CD=4 ，

∴S△OCD= OC×CD=8 ，

∴陰影部分面積為：8 ﹣

【解析】（1）連接OC，易證∠A=∠D=30°，由于OA=OC，所以∠ACO=∠A=30°，從而可知∠OCD=90°，即OC⊥CD．（2）分別求出扇形BOC與直角三角形OCD的面積即可求出陰影部分面積．
【考點精析】本題主要考查了扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．