Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．

（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，則y＝﹣3a，可知點(diǎn)C（0，﹣3a），繼而知點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)可知，ax2+2ax﹣3a＝0,解方程可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，繼而求出a的值及拋物線解析式；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥y軸交直線EF于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)M，則PH＝＝，將表達(dá)式配成頂點(diǎn)式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°兩種情況，作出圖形分別求解即可．

（1）令x＝0，則y＝﹣3a，可知點(diǎn)C（0，﹣3a），

∵OA＝OC

∴點(diǎn)A（﹣3a，0），

令，即

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）

∴﹣3a＝﹣3

∴a＝1

∴拋物線的解析式y＝x2+2x﹣3

（2）過點(diǎn)P作PN⊥y軸交直線EF于點(diǎn)N，

∵直線EF的解析式為y＝﹣x，

∴∠NOA＝45°，

∴∠PNH＝45°

設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)N，

∴PH＝＝＝，

當(dāng)x＝時(shí)，PH的值最大為，

（3）當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，如圖2左側(cè)圖所示，

當(dāng)點(diǎn)D在BC的右側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則CD＝OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝，

則，，

∴xD＝CD＝，同理yD＝，

故點(diǎn)D（，）；

同理當(dāng)點(diǎn)D在BC的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)（，）；

當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，如圖2右側(cè)圖所示，

當(dāng)點(diǎn)D在BC的右側(cè)時(shí)，

CD＝OB＝1，則點(diǎn)D（1，﹣3），

當(dāng)點(diǎn)D在BC的左側(cè)時(shí)，由點(diǎn)的對稱性，同理可得：點(diǎn)D（，）；

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．