Question

【題目】如圖，已知在中，,以BC為直徑作交于點，為AC邊的中點，連接．

（1）求證：是的切線．

（2）①若AC=3,AE=1,求的半徑；

②當 時，四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①②

【解析】

（1）連接OE、CE，由圓周角定理得出∠BEC＝90°，則∠AEC＝90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AD＝CD＝DE，由等腰三角形的性質得出∠DEC＝∠DCE，∠OCE＝∠OEC，證出∠OED＝90°，即可得出結論；

（2）①由勾股定理求出CE＝2，證△OCE∽△DAE，得出比例式，求出OC的長即可；

②證△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC＝45°，證四邊形OCDE是矩形，由OC＝OE，即可得出四邊形OCDE是正方形．

（1）證明：連接OE、CE，如圖所示：

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BEC＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵D是AC的中點，

∴DE＝AC＝AD＝CD，

∴∠DEC＝∠DCE，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE＝∠ACB＝90°，

∴∠OED＝90°，即OE⊥DE，

∵E為⊙O上的點，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：①∵AC＝3，

∴AD＝DE＝AC＝，

∵∠AEC＝90°，

∴CE＝，

∵∠BEC＝90°，

∴∠CBE＋∠OCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CBE＋∠DAE＝90°，

∴∠OCE＝∠DAE，

∵AD＝DE，OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC＝∠DAE＝∠DEA，

∴△OCE∽△DAE，

∴，

即，

解得：OC＝，

故半徑長為；

②當∠A＝45°時，四邊形OCDE是正方形；理由如下：

∵∠A＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB＝45°，

∴∠COE＝∠OBE＋∠OEB＝45°＋45°＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠OED＝90°，

∴四邊形OCDE是矩形，

∵OC＝OE，

∴四邊形OCDE是正方形；

故答案為：45°．