Question

【題目】如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF，將紙片ACB的一角沿EF折疊．

（1）如圖①，若折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF＝3S△AEF，則AE＝ ；

（2）如圖②，若折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．求AE的長；

（3）如圖③，若折疊后點(diǎn)A落在BC延長線上的點(diǎn)N處，且使NF⊥AB．求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）AE＝；（2）；（3）

【解析】（1）AE＝；………………2分

（2）如圖②，設(shè)AE＝x，則CE＝4－x．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

由折疊可知：AE＝EM＝x，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，

∵MF∥AC，∴∠AEF＝∠MFE．∴∠AEF＝∠AFE．

∴AE＝AF．∴AE＝EM＝MF＝AF，

∴四邊形AEMF為菱形．………………4分

∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．………………5分

∴＝，即＝，解得x＝，即AE＝………………6分

（3）如圖③，設(shè)AE＝y，則CE＝4－y．

由折疊可知：AE＝EN＝y，AF＝NF，

∵NF⊥AB，∴∠NFB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠NFB＝∠ACB．

且∠NBF＝∠ABC，∴△NBF ∽△ABC．………………7分

∴＝＝．即BF＝NF＝AF．由BF+ AF＝AB＝5，

解得：BF＝，NF＝，………………8分

∴BN＝，CN＝BN－BC＝－3＝．………………9分

在Rt△CEN中，由CN2+CE2＝EN2，∴()2+(4－y)2＝y2，

解得：y＝，即AE＝．