Question

【題目】在平面直角坐標系中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關聯點．

（1）當⊙O的半徑為2時，

①在點 中，⊙O的關聯點是_______________．

②點P在直線y=-x上，若P為⊙O 的關聯點，求點P的橫坐標的取值范圍．

（2）⊙C 的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關聯點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P2、P3，②－≤x≤－或 ≤x≤；（2）－2≤x≤1或2≤x≤2 .

【解析】

試題（1）①由題意得，P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，由 的值可知為⊙O的關聯點；②滿足條件的P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，所以P橫坐標范圍是－ ≤x≤－ 或 ≤x≤；

（2）.分四種情況討論即可，當圓過點A， CA=3時；當圓與小圓相切時；當圓過點 A，AC=1時；當圓過點 B 時，即可得出.

試題解析：

（1），

點 與⊙的最小距離為 ，點 與⊙的最小距離為1，點與⊙的最小距離為，

∴⊙的關聯點為和．

②根據定義分析，可得當直線y=-x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意；

∴ 設點P的坐標為P (x ，-x) ，

當OP=1時，由距離公式可得，OP= ，解得 ，當OP=3時，由距離公式可得，OP= ，，解得，

∴ 點的橫坐標的取值范圍為－ ≤x≤－ 或 ≤x≤

（2）∵y=-x+1與軸、軸的交點分別為A、B兩點，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，

令得x=0得，y=0，

∴A(1，0) ，B (0，1) ，

分析得：

如圖1，當圓過點A時，此時CA=3，

∴ 點C坐標為，C ( -2，0)

如圖2，當圓與小圓相切時，切點為D，

∴CD=1 ，

又∵直線AB所在的函數解析式為y=-x+1，

∴ 直線AB與x軸形成的夾角是45°，

∴ RT△ACD中，CA= ，

∴ C點坐標為 (1-，0)

∴ C點的橫坐標的取值范圍為；-2≤ ≤1-，

如圖3，當圓過點A時，AC=1，

C點坐標為(2，0)

如圖4，

當圓過點 B 時，連接 BC ，此時 BC =3，

在 Rt△OCB中，由勾股定理得OC= ， C點坐標為 (2，0)．

∴ C點的橫坐標的取值范圍為2≤ ≤2 ；

∴綜上所述點C的橫坐標的取值范圍為－ ≤≤－ 或 ≤≤．