Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC，BC，以線段BC為直徑作⊙M，過點(diǎn)C作直線CE∥AB，與拋物線和⊙M分別交于點(diǎn)D，E，點(diǎn)P在BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△PDE是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)四邊形ACPB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣）；（3）點(diǎn)P（2，﹣3），最大值為12

【解析】

（1）用交點(diǎn)式設(shè)出拋物線的表達(dá)式，化為一般形式，根據(jù)系數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的表達(dá)式求出點(diǎn)C（0，-3），函數(shù)對(duì)稱軸為：x=1，則點(diǎn)D（2，-3），點(diǎn)E（4，-3），當(dāng)△PDE是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P在線段DE的中垂線上，據(jù)此即可求解；
（3）求出直線BC的表達(dá)式，設(shè)出P、H點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形ACPB的面積＝S△ABC+S△BHP+S△CHP進(jìn)行計(jì)算，化為頂點(diǎn)式即可求解．

（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣2a＝﹣，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

函數(shù)對(duì)稱軸為：x＝=1，

∵CE∥AB

∴點(diǎn)D（2，﹣3），點(diǎn)E（4，﹣3），

則DE的中垂線為：x＝＝3，

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，

故點(diǎn)P（3，﹣）；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：

解得：

∴直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

故點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣x﹣3），則點(diǎn)H（x，x﹣3）；

四邊形ACPB的面積＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝3×6+HP×OB＝9+×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9= ，

∵﹣＜0，故四邊形ACPB的面積有最大值為12，此時(shí)，點(diǎn)P（2，﹣3）．