Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，且∠APB＝60°．

（1）求∠BAC的度數；

（2）若PA＝，求點O到弦AB的距離．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）2

【解析】

（1）根據切線長定理及切線的性質可得PA=PB，∠OAP=90°，由∠PAB=60°可證明△ABP是等邊三角形，可得∠BAP=60°，即可求出∠BAC的度數；

（2）連接OP，交AB于點D，根據切線長定理可得∠APO＝∠BPO=30°，即可得OP⊥AB，根據垂徑定理可求出AD的長，根據含30°角的直角三角形的性質可得OA=2OD，利用勾股定理列方程求出OD的長即可得答案.

（1）∵PA，PB分別是⊙O的切線

∴PA=PB，∠OAP＝90°，

∵∠APB＝60°

∴△ABP為等邊三角形

∴∠BAP＝60°

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°

（2）連接OP，交AB于點D．

∵△ABP為等邊三角形

∴BA=PB=PA=，

∵PA，PB分別是⊙O的切線，

∴∠APO＝∠BPO=30°，

∴OP⊥AB，

∴AD＝AB=，

∵∠ODA＝90°，∠BAC＝30°，

∴OA=2 OD，

∵，

∴，

解得：OD=2，即點O到弦AB的距離為2．