Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）連接BE交圓于F，連AF并延長ED于G，若GE＝2，AF＝3，求∠EAF的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠EAF的度數為30°．

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）利用圓周角定理得到∠AFB=90°，再證明Rt△GEF∽△Rt△GAE，利用相似比得到，于是可求出GF=1，然后在Rt△AEG中利用正弦定義求出∠EAG的度數即可．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵AB為直徑，

∴∠AFB＝90°，

∵∠EGF＝∠AGF，

∴Rt△GEF∽△Rt△GAE，

∴，即，

整理得GF2+3GF﹣4＝0，解得GF＝1或GF＝﹣4（舍去），

在Rt△AEG中，sin∠EAG＝，

∴∠EAG＝30°，

即∠EAF的度數為30°．