Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF=AE，連接FB、FC．

（1）求證：四邊形ABFC是菱形；

（2）若AD=，BE=1，求半圓的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）半圓的面積是

【解析】

（1）由AB是直徑可得∠AEB＝90°，根據等腰三角形的性質可得BE＝CE，進而可得四邊形ABFC是平行四邊形，再根據菱形的定義即可證得結論；

（2）連接，如圖，設，根據勾股定理可得關于x的方程，解方程即可求出x，進一步即可求出半圓面積．

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE，

∵AE＝EF，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

∵AC＝AB，

∴平行四邊形ABFC是菱形；

（2）解：連接，如圖，設，則AC=x，

∵AB是直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，

則，

解得：（舍），，

∴半圓的面積．

答：半圓的面積是．