Question

【題目】將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點E，F分別在邊，上．沿著折疊該紙片，使得點A落在邊上，對應點為，如圖①．再沿折疊，這時點E恰好與點C重合，如圖②．

（Ⅰ）求點C的坐標；

（Ⅱ）將該矩形紙片展開，再折疊該矩形紙片，使點O與點F重合，折痕與相交于點P，展開矩形紙片，如圖③．

①求的大小；

②點M，N分別為，上的動點，當取得最小值時，求點N的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①，②

【解析】

（Ⅰ）由翻折的性質可知，，，再由正方形的性質和勾股定理可得OE，繼而即可求解；

（Ⅱ）①連接，由題意和（Ⅰ）可知，而，，由等角對等邊可知，，設，則，然后根據翻折的性質可知即，把x代入列出方程，解方程求出，根據相似三角形的判定可證, ，再根據相似三角形的對應角相等和三角形內角和即可求解；

②利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等這一性質可判斷M、N的位置，進而根據題意即可求解．

解：（Ⅰ）∵點，∴．

由兩次折疊可知，，．

∴是正方形．∴．

在中，．

∴點C的坐標為．

（Ⅱ）①如圖③，連接，由和（Ⅰ）可知，

，而，

，

故，．

設，則，

由即，

得，解得．

所以．則有．

得．又，則，

即．

②如圖④所示，過點P作⊥OC于點，交OF于點M，作關于OF的對稱點N，連接MN，此時取得最小值時，且，

過點N作NG⊥x軸于點G，

∵由（Ⅱ）知，∠AOE＝45°,

∴∠NOG＝90°－45°＝45°

∴OG＝NG＝．

∴．