Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結論．

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足 條件時，四邊形EFGH是矩形；

（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？ ．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見解析．

（2）四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直，證明見解析，

（3）菱形，證明見解析．

【解析】

（1）連接BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點四邊形是矩形．根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得四邊形EFGH是平行四邊形，再根據矩形的每一個角都是直角，然后根據平行線的性質，再根據垂直定義解答；

解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖，連結BD． ∵E、H分別是AB、AD中點，

∴EH∥BD，EH= BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形．

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．

理由如下： 如圖，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

故答案為：對角線互相垂直．

（3）菱形的中點四邊形是矩形．

理由如下： 如圖，連結AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點， ∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

故答案為：菱形．