Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F．點E在⊙O外，做直線AE，且∠EAC=∠D
（1）求證：直線AE是⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD= ，CF= ，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ADC+∠CDB=90°，

∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，

∴∠EAC+∠BAC=90°，

即∠BAE=90°，

∴直線AE是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

Rt△ACB中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC=2×4=8，

由勾股定理得：AC= =4 ，

Rt△ADB中，cos∠BAD= = ，

∴ ，

∴AD=6，

∴BD= =2 ，

∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，

∴△DFB∽△AFC，

∴ ，

∴ ，

∴BF= ．

【解析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得：∠ADB=90°，則∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，則直線AE是⊙O的切線；（2）分別計算AC和BD的長，證明△DFB∽△AFC，列比例式得： ，得出結論．
【考點精析】利用解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．