Question

如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三個中的兩個為條件，另一個為結論，可構成三個命題，即：
①②?③，①③?②，②③?①．
（1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）；
（2）請證明你認為正確的命題．

Answer 1

分析：根據已知及全等三角形的判定方法進行分析，從而得到命題的真假．

解答：解：（1）①②?③，正確；①③?②，錯誤，不符合三角形的判定；②③?①，正確．

（2）先證①②?③．如圖．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
設AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
再證②③?①．如圖2，

設AD的中點為O，連接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線．
∴OE=

1

2

AD，OF=

1

2

AD．
即點O到A、E、D、F的距離相等．
∴四點A、E、D、F在以O為圓心，

1

2

AD為半徑的圓上，AD是直徑．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF．
即AD平分∠BAC．

點評：本題考查了三角形全等的判定定理和性質，同時考查了垂徑定理等知識的綜合運用．