Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），過點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N．

（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，在該反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△PMN的面積等于△OMN的面積的一半，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

（3）若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，2）；（2）（1，4）或（8，）；（3）4≤k≤8．

【解析】

對于（1）直接將點(diǎn)D，E坐標(biāo)代入y=kx+b求出解析式，再將點(diǎn)M的縱坐標(biāo)代入解析式可得答案；

對于（2），將點(diǎn)M坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式，求出m值，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化面積求出相關(guān)線段長度，進(jìn)而解答；

對于（3），先求出當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)M，B時m的值，進(jìn)而得出范圍.

解：（1）設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，

根據(jù)題意得：，

解得：，

則直線DE的解析式是：y=﹣x+3，

令y=2，得到2=﹣x+3，解得：x=2，則M的坐標(biāo)是（2，2）；

（2）把M（2，2）代入y=得；k=4，

則反比例函數(shù)的解析式是：y=，

當(dāng)x=4時，y=﹣+3=1，則N（4，1），

∴MN==，

則△OMN的面積S=S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△BMN﹣S△OCN=2×4﹣﹣﹣=8﹣2﹣1﹣2=3，

∵S△PMN=S△OMN，

=，

=3，

PG=，

存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，），過P作PG⊥MN于G，作PH⊥x軸于H，交直線DE于F，

∵∠PGF=∠DAM=90°，

∴∠GPF=∠DMA，

∴△PGF∽△MAD，

∴，

∴，

x=1或8，

∴P的坐標(biāo)為：（1，4）或（8，）；

（3）經(jīng)過M的反比例函數(shù)的解析式是：y=，同時經(jīng)過點(diǎn)N，

經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式是：y=，

則反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)時，k的范圍是：4≤k≤8．