Question

【題目】數學課上老師提出了如下問題：

尺規作圖：作中邊上的高線

已知：．

求作：中邊上的高線．

下面是小東設計的“作中邊上的高線”的尺規作圖過程．

作法：如圖，

①以點為圓心，的長為半徑作弧，以點為圓心，的長為半徑作弧，兩弧在下方交于點；

②連接交于點．

所以線段是中邊上的高線．

根據小東設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）小樂和小馬幫助小東完成下面的證明．

小樂：證明：，，

點，分別在線段的垂直平分線上（依據1）．

垂直平分線段．

線段是中邊上的高線．

小樂：證明：，，

又

（依據2）

∴線段是中邊上的高線

上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別指什么?

（3）請你用不同于小東的方法完成老師提出的問題．

（4）若，，，則邊上的高的長度為__________．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）依據1：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；依據2：三線合一；（3）詳見解析；（4）

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；
（2）根據線段的垂直平分線的判定和等腰三角形的性質即可解決問題

（3）可以先構造一個等腰三角形然后利用垂直平分線的判定作出高線

（4）利用30°的特殊性質及勾股定理即可求出答案

解：（1）圖形如圖所示：

（2）依據1：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

依據2：三線合一

（3）如圖所示

①以為圓心長為半徑在上截取

②以任意長為半徑分別以、為圓心畫弧交于點E

③連接交于即為所求

（4）