Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線=分別與軸，軸相交于兩點，點是軸的負半軸上的一個動點，以為圓心，3為半徑作.
（1）連結，若，試判斷與軸的位置關系，并說明理由；
（2）當為何值時，以與直線=的兩個交點和圓心為頂點的三角形是正三角形？

Answer 1

（1）⊙P與x軸相切．理由見解析；（2）-8或k=--8

解析試題分析：（1）通過一次函數可求出A、B兩點的坐標及線段的長，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當PB=PA時k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關系．
（2）根據正三角形的性質，分兩種情況討論，
①當圓心P在線段OB上時，②當圓心P在線段OB的延長線上時，從而求得k的值．
試題解析：（1）⊙P與x軸相切，
∵直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑．
∴⊙P與x軸相切．
（2）設⊙P₁與直線l交于C，D兩點，連接P₁C，P₁D，
當圓心P₁在線段OB上時，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD為正三角形，
∴DE=CD=，P₁D=3．
∴P₁E=．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴，即，
∴P₁B＝.
∴P₁O=BO-BP₁=8-．
∴P₁（0，-8）．
∴k=-8．
當圓心P₂在線段OB延長線上時，同理可得P₂（0，--8）．
∴k=--8．
∴當k=-8或k=--8時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形．

考點：1.切線的判定；2.一次函數圖象上點的坐標特征；3.等邊三角形的性質；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質．