Question

如圖，在△PAB中，點C、D在邊AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°．
(1)試說明△APC與△PBD相似．
(2)若CD＝1，AC＝x，BD＝y，請你求出y與x之間的函數關系式．
(3)小明猜想：若PC＝PD＝1，∠CPD＝α，∠APB＝β，只要α與β之間滿足某種關系式，問題(2)中的函數關系式仍然成立．你同意小明的觀點嗎？如果你同意，請求出α與β所滿足的關系式；若不同意，請說明理曲．

Answer 1

（1）說明見解析
（2）
（３）同意，2β-α=180°

解析試題分析：
（1）根據PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，則∠ACP=∠BDP=120°，可證明∠A=∠BPD，從而證得△APC與△PBD；
（2）由（1）得 ，則 ，從而得出y與x的函數關系式；
（3）根據題意仍可得出（2）中的函數關系式，則同意這種說法．
試題解析：（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD
∴△APC∽△PBD
由（１）得△APC∽△PBD，，
∴，即
（３）同意，2β-α=180°
考點：相似三角形的判定與性質