Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A，B(1，0)兩點，交y軸于點C，一次函數y＝x+3的圖象交坐標軸于A，D兩點，E為直線AD上一點，作EF⊥x軸，交拋物線于點F

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點E的坐標；若沒有，請說明理由；

(3)在平面直角坐標系內存在點G，使得G，E，D，C為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數關系式；

（2）由函數圖象上點的坐標特征：可設點E的坐標為（m，m+3），點F的坐標為（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根據二次函數最值的求法解答即可；

（3）分三種情形①如圖1中，當EG為菱形對角線時．②如圖2、3中，當EC為菱形的對角線時，③如圖4中，當ED為菱形的對角線時，分別求解即可．

(1)將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．

∴點A的坐標為(﹣3，0)．

設拋物線的解析式為y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，點A的坐標為(﹣3，0)，點B的坐標為(1，0)，

∴y＝a(x+3)(x﹣1)．

∵點C的坐標為(0，﹣1)，

∴﹣3a＝﹣1，得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；

(2)設點E的坐標為(m，m+3)，線段EF的長度為y，

則點F的坐標為(m，m 2+m﹣1)

∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣ m 2+m+4

即y＝-(m﹣) 2+，

此時點E的坐標為(，)；

(3)點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

理由：①如圖1，當四邊形CGDE為菱形時．

∴EG垂直平分CD

∴點E的縱坐標y＝＝1，

將y＝1帶入y＝x+3，得x＝﹣2．

∵EG關于y軸對稱，

∴點G的坐標為(2，1)；

②如圖2，當四邊形CDEG為菱形時，以點D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點E，可得DC＝DE，構造菱形CDEG

設點E的坐標為(n，n+3)，

點D的坐標為(0，3)

∴DE＝＝

∵DE＝DC＝4，

∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．

∴點E的坐標為(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)

將點E向下平移4個單位長度可得點G，

點G的坐標為(﹣2，﹣2﹣1)(如圖2)或(2，2﹣1)(如圖3)

③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時，以點C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點E，

設點E的坐標為(k，k+3)，點C的坐標為(0，﹣1)．

∴EC＝＝．

∵EC＝CD＝4，

∴2k2+8k+16＝16，

解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．

∴點E的坐標為(﹣4，﹣1)

將點E上移1個單位長度得點G．

∴點G的坐標為(﹣4，3)．

綜上所述，點G的坐標為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．