Question

【題目】我們約定，在平面直角坐標系中兩條拋物線有且只有一個交點時，我們稱這兩條拋物線為“郡園牽手拋物線”，這個交點為“郡園點”．例如：拋物線與是“郡園牽手拋物線”，“郡園點”為．

（1）如圖，若拋物線與為“郡園牽手拋物線”，求的值；

（2）在（1）的條件下，若點是第一象限內拋物線上的動點，過作軸，為垂足，求的最大值；

（3）在（1）的條件下，設點是拋物線與的“郡園點”，點是拋物線上一動點，問在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或4；（2）；（3）存在，符合條件的點有4個，．

【解析】

（1）根據題意得知與為“郡園牽手拋物線”，即只有一個交點，聯立解析式解方程組即可得到答案； （2）由M是第一象限內的點可判斷的解析式，設出用M的坐標，用M的坐標變量表示出，利用二次函數的性質求最大值即可 ； （3）根據題意畫圖并求出點B坐標為（-2，2），當拋物線分兩種情況時依題意構造以C為直角頂點的等腰直角三角形，判斷其大致圖象，然后根據割補法構造全等三角形，再用待定系數法設出關鍵點的坐標，并表示出全等三角形邊的長度，用對應邊相等建立方程組求解即可．

解：（1）由可得：

，

∵只有一個交點，∴，

∴或4．

（2）∵點是第一象限內拋物線上的動點，∴，

設，其中，

則，

當時，有最大值，且最大值為．

（3）存在． 理由如下：

∵B是拋物線與的“郡園點”．

∴ 解得，，

把代入得，，

所以B點坐標為．

如圖1，

當拋物線 圖象為時，

過B、D分別作BP、DQ垂直于拋物線對稱軸直線，

依題意可設，且由圖可得．

∵△BCD為等腰直角三角形，且C為直角頂點 ，

又∵∠CBP+∠BCP=90° ∴∠BCP+∠DCQ=90°，

在△BCP與△DCQ中，

∴△BCP≌△DCQ（AAS） ∴BP=CQ，PC=DQ

即

所以由得，代入得，，

整理得， ， 解得，（舍去），

此時C點坐標為．

如圖2，

當拋物線圖象為時，

過B、D分別作BG、DF分別平行于拋物線的對稱軸直線，且過C作平行于軸的直線交BG于點G，交DF于點F．

依題意可設，且由圖可得．

同理可證△BCG≌△CDF（AAS），所以CG=FD，BG=CF

即 解得，（舍去），

此時C點坐標為．

如圖3，

當拋物線圖象為時，由△BCD是以C為直角頂點的等腰直角三角形可得BC=CD=2，此時D點與坐標原點O重合，C點坐標為．

如圖4，

當拋物線圖象為時，過B、D分別作BM、DN垂直于y軸交y軸于點M、N．由圖可設．

同理易證△BCM≌△DCN（AAS） ∴BM=CN，MC=DN

即 由得并代入得，

整理得，，

解得， ，

又∵當 時，過點C且垂直于BC的直線與拋物線沒有交點，故此時D點不存在． ∴此時C點坐標為．

綜上所述，滿足題意的C點坐標可以為,,，．

所以存在,符合條件的點有4個，,,，．