Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：AF=BD．

（2）求證：四邊形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由“AAS”可證△AFE≌△DBE，從而得AF=BD

（2）由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形ADCF是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)的AD＝DC，即可證明四邊形ADCF是菱形。

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE

∵△ABC是直角三角形，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，BD=CD

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS））

∴AF=BD

（2）由（1）知，AF=BD，且BD=CD，

∴AF=CD，且AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形

∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD＝BC＝DC

∴四邊形ADCF是菱形