Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點D為AB的中點，過點D作DE∥BC交AC于E．

（1）求證：E為AC的中點；

（2）如圖2，過點D作QD⊥AB交BC的延長線于Q，過點E作EP⊥AC交CB的延長線于P，連AP、AQ．若PQ＝12，AP+AQ＝20，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4

【解析】

（1）作CF∥AB交DE的延長線于點F，證明△ADE≌△CFE，根據全等三角形的性質得到AE＝CE；

（2）根據線段垂直平分線的性質得到QA＝QB，AP＝CP，求出BC的長，根據三角形中位線定理解答即可．

（1）證明：作CF∥AB交DE的延長線于點F，

則∠A＝∠FCE，

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四邊形DBCF為平行四邊形，

∴BD＝CF，

∵點D為AB的中點，

∴AD＝BD，

∴AD＝CF，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（ASA），

∴AE＝CE，即E為AC的中點；

（2）∵點D為AB的中點，QD⊥AB，

∴QA＝QB，

同理，AP＝CP，

∴BC＝CP+BQ﹣PQ＝AP+AQ﹣PQ＝20﹣12＝8，

∵D、E分別為AB、AC的中點，

∴DE＝BC＝4