Question

【題目】如圖，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求證：∠BPC＝90°＋∠BAC.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

連接AP，且延長至G，推出點P是△ABC三角平分線的交點，求出∠CAG=∠BAG=∠BAC，∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，求出∠CPG=∠PAC+∠PCA=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ABC），根據∠BPC=∠CPG+∠BPG代入求出即可．

證明：連接AP，且延長至G，

∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，

∴點P是△ABC三角平分線的交點，

∴AP平分∠BAC，

∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，

∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，

∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，

∴∠CPG=∠PAC+∠PCA=（∠BAC+∠ACB），

∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ABC），

∴∠BPC=∠CPG+∠BPG

=1/2（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）

=∠BAC+（180°-∠BAC）

=90°+∠BAC．