Question

如圖，頂點為P（4，－4）的二次函數圖象經過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON．

（1）求該二次函數的關系式；
（2）若點A的坐標是（6，－3），求△ANO的面積；
（3）當點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：
①證明：∠ANM＝∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）12
（3）相似三角形的基本知識推出該角度的相等，不能

試題分析：（1）∵二次函數圖象的頂點為P（4，－4），∴設二次函數的關系式為。
又∵二次函數圖象經過原點（0，0），∴，解得。
∴二次函數的關系式為，即。（2分）
（2）設直線OA的解析式為，將A（6，－3）代入得，解得。
∴直線OA的解析式為。
把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。
又∵點M、N關于點P對稱，∴N（4，－6），MN=4。
∴。（3分）
（3）①證明：過點A作AH⊥于點H，，與x軸交于點D。則
設A（）,
則直線OA的解析式為。
則M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。（2分）
②不能。理由如下：分三種情況討論：
情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45⁰，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得。
∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角。
情況2，若∠AON是直角，則。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
∴此時，故點A與原點或與點P重合。故此時不存在點A，使∠AON是直角。
情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使∠ONA是直角。
綜上所述，當點A在對稱軸右側的二次函數圖象上運動時，△ANO不能成為直角三角形。（3分）
點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．