Question

【題目】已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，D、E分別在BC、AC邊上．

(1)如圖1，F是線段AD上的一點，連接CF，若AF=CF；

①求證：點F是AD的中點；

②判斷BE與CF的數量關系和位置關系，并說明理由；

(2)如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉α角（0＜α＜90°），點F是AD的中點，其他條件不變，判斷BE與CF的關系是否不變？若不變，請說明理由；若要變，請求出相應的正確結論．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②BE=2CF，BE⊥CF；（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．

【解析】

（1）①如圖1，由AF=CF得到∠1=∠2，則利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根據等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；
②先利用等腰直角三角形的性質得CA=CB，CD=CE，則可證明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，則BE=2CF，再證明∠CBE+∠3=90°，于是可判斷CF⊥BE；
（2）延長CF到G使FG=CF，連結AG、DG，如圖2，易得四邊形ACDG為平行四邊形，則AG=CD，AG∥CD，于是根據平行線的性質得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根據旋轉的性質得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接著可證明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一樣可證得CF⊥BE．

（1）①證明：如圖1，

∵AF=CF，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠ADC，

∴FD=FC，

∴AF=FD，

即點F是AD的中點；

②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC，

∴AD=BE，∠1=∠CBE，

而AD=2CF，∠1=∠2，

∴BE=2CF，

而∠2+∠3=90°，

∴∠CBE+∠3=90°，

∴CF⊥BE；

（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：

延長CF到G使FG=CF，連結AG、DG，如圖2，

∵AF=DF，FG=FC，

∴四邊形ACDG為平行四邊形，

∴AG=CD，AG∥CD，

∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD，

∴CD=CE=AG，

∵△DEC繞點C順時針旋轉α角（0＜α＜90°），

∴∠BCD=α，

∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，

∴∠GAC=∠ECB，

在△AGC和△CEB中

，

∴△AGC≌△CEB，

∴CG=BE，∠2=∠1，

∴BE=2CF，

而∠2+∠BCF=90°，

∴∠BCF+∠1=90°，

∴CF⊥BE．

故答案為：（1）①證明見解析；②BE=2CF，BE⊥CF；（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．