Question

【題目】探究題：如圖1，和均為等邊三角形，點在邊上，連接．

（1）請你解答以下問題：

①求的度數；

②寫出線段，，之間數量關系，并說明理由．

（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點在邊上，連接．請判斷的度數及線段，，之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題：如圖3，在四邊形中，，，，與交于點．若恰好平分，請直接寫出線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）①；②線段、、之間的數量關系為：，理由見解析；

（2），，理由見解析．

（3）理由見解析．

【解析】

（1）①證明△BAD≌△CAE（SAS），可得結論：∠ACE=∠B=60°； ②由△BAD≌△CAE，得BD=CE，利用等邊三角形的AC=BC=BD+DC等量代換可得結論；

（2）如圖2，先證明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，同理可得結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建如圖2的兩個等腰直角三角形，已經有一個△ABD，再證明△ACF也是等腰直角三角形，則利用（2）的結論求AC的長．

（1）①∵和均為等邊三角形，

∴，，，

∴，

即，

∴，

∴，

②線段、、之間的數量關系為：；

理由是：由①得：，

∴，

∵，

∴；

（2），，理由是：

如圖2，∵和均為等腰直角三角形，且，

∴，，，

即，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵在等腰直角三角形中，，

∴；

（3）如圖3，過作的垂線，交的延長線于點，

∵，，，

∴，，

∵，

∴以BD的中點為圓心，為半徑作圓，則A，C在此圓上，

∴、、、四點共圓，

∵恰好平分

∴，

∴是等腰直角三角形，

由（2）得：，

∴．