Question

【題目】如圖1，圓內接四邊形ABCD，AD＝BC，AB是⊙O的直徑．

（1）求證：AB∥CD；

（2）如圖2，連接OD，作∠CBE＝2∠ABD，BE交DC的延長線于點E，若AB＝6，AD＝2，求CE的長；

（3）如圖3，延長OB使得BH＝OB，DF是⊙O的直徑，連接FH，若BD＝FH，求證：FH是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由弧AD＝弧BC，根據同弧讓所對的圓周角相等得∠ABD＝∠BDC得AB∥CD；

（2）由∠BCE＝∠CBA＝∠DAO得∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD；從而得到△AOD∽△CBE，根據相似比得出結果；

（3）要證FH是⊙O的切線，只須證出DF⊥FH即可，作出輔助線是本題的關鍵．

解：（1）證明：圓內接四邊形ABCD，AD＝BC，

∴弧AD＝弧BC，∴∠ABD＝∠BDC

∴AB∥CD

（2）由（1）知，∠BCE＝∠CBA＝∠DAO，

∵∠CBE＝2∠ABD且∠AOD＝2∠ABD

∴△AOD∽△CBE

∴

∴

（3）作FM⊥AH于M，

∵∠ADB＝∠AFB＝∠DAF＝90°

∴四邊形AFBD是矩形，

∴FH＝BD＝AF

∴AM＝HM，OM＝BM

∴OF＝BF＝OD

∴∠FOH＝60°，∠OHF＝30°

∠DFH＝90°

又∵DF是⊙O的直徑，

∴FH是⊙O的切線．