Question

【題目】已知二次函數y=x2-mx+n圖像的頂點為C（1，-4）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如點A是二次函數在第四象限內圖象上的一動點，過點A作軸，P為垂足，求的最大值；

（3）已知點B（－1，－4），問在的對稱軸上是否存在點Q，使線段QB繞點Q順時針旋轉得到線段，且點恰好落在二次函數圖像上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）

【解析】

（1）二次函數y=x2-mx+n圖像的頂點為C（1，-4），即可求m，n；

（2）作AP⊥x軸，設A（a，a2-2a-3），所以AP=-a2+2a+3，PO=a，可得AP+OP=-a2+3a+3=，由已知可知0＜a＜3，即可求；

（3）假設對稱軸上存在點Q，過點B'作B'D⊥對稱軸l于點D，可得∠B'DQ=90°；①當點Q在頂點C的下方時，可證△BCQ≌△QDB'，設點Q（1，b），所以B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，可知B'（-3-b，2+b），可得，可求b=-5，Q（1，-5），②當點Q在頂點C的上方時，同理可得Q（1，-2）．

（1）∵二次函數y=x2-mx+n圖像的頂點為C（1，-4），

∴

∴

∴

（2）作AP⊥x軸，設A（a，）

∵A在第四象限，

∴0＜a＜3，

∴

∴

∵0＜a＜3，

∴當時AP+OP的最大值為

（3）假設對稱軸上存在點Q，過點作于點D

∴

①當點Q在頂點C的下方時

∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），拋物線的對稱軸為x=1

∴BC⊥l，BC=2，∠BCQ=90°

∴△BCQ≌△QDB'

∴B'D=CQ，QD=BC，

設點Q（1，b）

∴B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，

可知B'（-3-b，2+b），

∴

∴

∴b=-2或b=-5，

∵b＜-4，

∴Q（1，﹣5），

②當點Q在頂點C的上方時，同理可得Q（1，﹣2）；

綜上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；