Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED，AC與ED相交于點F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

(2)試探究AB、CD之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由；若EA＝ED＝2，求此時菱形AECD的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2

【解析】

根據已知條件，只要證明：AD=EC，AD∥EC即可.

根據已知條件，想辦法證明：AB=DE，CD=DE即可.

假定四邊形AECD為菱形時，根據菱形對角線知：AC⊥ED，又ED∥AB，故猜想AB⊥AC時，四邊形AECD為菱形；求面積時由菱形面積公式：對角線乘積的一半即可求解.

解：(1)∵E是BC的中點，∴BE＝EC＝BC，

∵BC＝2AD，即AD=

∴AD＝BE=EC，又∵AD∥EC，

∴四邊形AECD是平行四邊形.

(2)由(1)知：四邊形AECD是平行四邊形.

∴AE＝CD，

又由已知有：AE＝ED，∴ED＝CD……①

∵AD＝BE，AD∥BE，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴AB＝ED……②

結合①②可知

∴AB＝CD.

故AB和CD的數量關系為：AB=CD.

(3)當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形.

理由如下：∵四邊形ABED是平行四邊形，

∴AB∥DE，

∵AB⊥AC，∴ED⊥AC，

∵四邊形AECD是平行四邊形，

∴四邊形AECD是菱形.

∵AE＝DE＝2，

∴EF＝DF＝1，

在Rt△AFE中，AF＝＝，AC＝2AF＝

∴.

故菱形AECD的面積為