Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣4）．

（1）求該二次函數的解析；

（2）若點P、Q同時從A點出發，以每秒1個單位長度的速度分別沿AB、AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

①當點P運動到B點時，在x軸上是否存在點E，使得以A、E、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點的坐標；若不存在，請說明理由．

②當P、Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請直接寫出t的值及D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①存在滿足條件的點E，點E的坐標為或或（﹣1，0）或（7，0）；②，

【解析】

試題分析：（1）將A，B，C點坐標代入函數中，求得b、c，進而可求解析式；

（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標；

（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等等性質可用t表示D點坐標，又D在E函數上，所以代入即可求t，進而D可表示．

試題解析：（1）∵二次函數的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4）．

∴，解得 ，；

①存在．如圖1，過點Q作于D，此時，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，

Ⅰ、作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，設則 在中，解得

說明點E在軸的負半軸上；Ⅱ、以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交軸于E，此時1.Ⅲ、當時，2.當E在A點左邊時，2．當E在A點右邊時，綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為或或（﹣1，0）或（7，0）．

②如圖2，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，于F，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵D在二次函數

上，或（與A重合，舍去），