Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的點，PA切于⊙O于點A,PA=PC,∠BAC=30°，

（1）求證：PC是⊙O的切線;
（2）若⊙O的半徑為1，求PC的長（結果保留根號）.

Answer 1

（1）證明見解析;（2）．

試題分析：（1）連接PO，OC，根據SSS證△PAO≌△PCO，推出∠PCO=∠PAO=90°，根據切線的判定推出即可;
（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=．
試題解析：（1）如圖,連接OC、OP，
∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°.
在△PAO和△PCO中, OA＝OC, OP＝OP, PA＝PC,
∴△PAO≌△PCO（SSS）. ∴∠PCO=∠PAO=90°.
∵OC為半徑，∴PC是⊙O的切線．

（2）如圖，連接BC，
∵AB是直徑，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=.
∵∠PAC=90°-30°=60°，PA=PC，∴△PAC是等邊三角形. ∴PA=AC=.
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